Aceleração

Quando a velocidade de uma partícula muda, dizemos que essa partícula sofre uma aceleração (ou simplesmente é acelerada). Para o movimento ao longo de um eixo, a aceleração média a_med ocorrida em um intervalo de tempo Δt é dada pela expressão:

Na qual a partícula possui velocidade v₁ no tempo t₁ e depois, velocidade v₂ no tempo t₂. A aceleração instantânea ou simplesmente aceleração é dada pela igualdade:

 

Ou seja: a aceleração de uma partícula em qualquer instante de tempo é a taxa na qual sua velocidade está mudando naquele instante. Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a declividade da curva de v(t) naquele ponto. Combinando as equações já vistas, podemos escrever:

 

Ou seja, a aceleração de uma partícula em qualquer instante de tempo é a segunda derivada da posição x(t) em relação ao tempo. No SI, a unidade de aceleração é o metro por segundo por segundo m/(s.s) ou m/s². As outras unidades aparecem na forma comprimento / (tempo . Tempo) ou comprimento / tempo². A aceleração tem magnitude e direção, sendo portanto uma quantidade vetorial. O seu sinal algébrico + ou – representam o sentido assumido em um eixo, da mesma forma que foi visto para o deslocamento e para a velocidade, isto é, uma aceleração com valor positivo, acelera no sentido positivo de um eixo e uma aceleração com valor negativo, acelera no sentido negativo do eixo.

A figura abaixo é o gráfico da aceleração de um elevador, discutido anteriormente. Compare a curva a(t) com a curva v(t) – cada ponto da curva a(t) mostra a derivada (declividade) da curva v(t) no tempo correspondente. Quando v é constante (em 0 ou 4 m/s), a derivada é zero, assim como também, a aceleração. Quando o elevador começa a se movimentar, a curva v(t) tem uma derivada positiva (a declividade é positiva), significando que a aceleração também é positiva. Quando o elevador diminui a velocidade até parar, a derivada e a declividade da curva v(t) são negativas, isto é, a(t) é negativa.

Em seguida, compare as declividades da curva v(t) durante os dois períodos de aceleração e observe que a magnitude da desaceleração e maior do que a magnitude da aceleração e que nos instantes em que a velocidade é constante a aceleração é nula conforme está ilustrado no gráfico.

Position – posição;

Velocity – velocidade;

Acceleration – aceleração;

Deceleration – desaceleração;

Slope of – declividade de.

As sensações que você sentiria ao viajar no elevador da figura acima estão indicadas nos desenhos do menino, na parte inferior da figura. Quando o elevador começasse a acelerar, você se sentiria como que pressionado para baixo, mais tarde, quando o elevador freiasse até parar, você se sentiria como que esticado para cima. Na situação intermediária, você nada sentiria. Isso quer dizer que o seu corpo reage a acelerações (ele é um acelerômetro), porém não reage a velocidades (ele não é um velocímetro). Quando você está viajando em um carro a 90 km/h ou em avião a 900 km/h, seu corpo não sente nada em relação ao movimento. Todavia, se o carro ou avião mudarem rapidamente de velocidade, você perceberá a mudança e talvez fique até assustado.

Um exemplo mais radical é mostrado nas fotografias abaixo, que foram tiradas enquanto uma cápsula de foguete foi rapidamente acelerada sobre um trilho e repentinamente freada até parar. 

 

Observe os efeitos que a aceleração causa sobre o ocupante da cápsula.

Grandes acelerações são algumas vezes expressas em termos de unidades g, onde

1g = 9,8 m/s² (unidade g)

Em uma montanha russa, você pode experimentar breves acelerações acima de 3g, ou seja, (3)(9,8 m/s²) ou cerca de 29 m/s², mais do que suficiente para justificar o preço do passeio.

Numa montanha russa é possível atingir acelerações até 3g.

Dicas para resolução de problemas

O sinal da aceleração: Em linguagem comum, o sinal da aceleração não possui significado científico: uma aceleração positiva indica que a velocidade de um objeto está aumentando, e uma aceleração negativa indica que a velocidade está diminuindo (o objeto está desacelerando). Todavia, em nosso estudo, o sinal de uma aceleração indica um sentido e não se a velocidade de um objeto está diminuindo ou aumentando.

Por exemplo: Se um carro com uma velocidade inicial v = - 25m/s é freado e pára após 5.0 s, então a a_med = + 5.0 m/s. A aceleração é positiva, porém a velocidade do carro estava diminuindo. A explicação é a diferença de sinais: o sentido da aceleração é oposto ao sentido da velocidade.

• Aqui está uma forma apropriada de interpretar os sinais:

Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, então a velocidade da partícula está aumentando. Se os sinais são opostos, a velocidade está diminuindo.

Verificação de aprendizagem.

Um tatu move-se ao longo do eixo x. Qual é o sinal de sua aceleração se ele se mover:

1. Na direção positiva com a velocidade aumentando;
2. Na direção positiva com a velocidade diminuindo;
3. Na direção negativa com a velocidade aumentando;
4. Na direção negativa com a velocidade diminuindo?

Lá vai o tatu.

A posição de uma partícula sobre o eixo da figura abaixo é dada pela expressão:

x = 4 – 27t + t³,

com x em metros e t em segundos.

Positive direction – direção positiva

Negative direction – direção negativa

Origin - origem

1. Uma vez que a posição x depende do tempo t, a partícula pode estar se movendo. Determine a função velocidade da partícula v(t) e a função aceleração a(t).

Solução:

1 - Para obter a função velocidade v(t), derivamos a função posição x(t) em relação ao tempo t.

2 – Para obter a função aceleração a(t), derivamos a função velocidade v(t) em relação ao tempo t.

Cálculos:

Diferenciando a função posição x(t), obtemos:

Com v em metros por segundos. Derivando a função velocidade em relação ao tempo t, obtemos:

(b) Determine o tempo t para o qual v = 0.

                                                 Como   

logo                                                t = 9 s e t = - 9 s

Assim, a velocidade é nula 3s antes do cronômetro marcar 0s e 3s após o cronômetro marcar 3s.

(c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0.

Precisamos analisar as expressões x(t), v(t) e a(t). Quando t = 0, a partícula está em x(0) = + 4 m e movendo-se com uma velocidade de v(0) = -27 m/s, isto é, no sentido negativo do eixo x. Sua aceleração é a(0) = 0 porque até então, a velocidade da partícula não está mudando.

Para 0 < t < 3s, a partícula ainda possui uma velocidade negativa, logo ela continua movendo-se no sentido negativo do eixo x, no entanto sua aceleração não é mais nula, mas está aumentando e é positiva. Uma vez que os sinais da velocidade e da aceleração são opostos, a partícula está ficando mais lenta.

Na verdade, já sabemos que ela pára momentaneamente quando t = 3 s. Substituindo t = 3 s na expressão x(t), descobrimos que a posição da partícula é x = - 50 m e sua aceleração ainda é positiva.

Para t > 3 s, a partícula move-se para a direita no eixo x. Sua aceleração permanece positiva e cresce progressivamente em magnitude. A velocidade é agora positiva e também cresce progressivamente em magnitude.

Aceleração constante: Um Caso Especial

Em muitos tipos de movimento, a aceleração pode ser constante ou praticamente constante. Por exemplo: você pode acelerar um carro a um taxa aproximadamente constante, quando o semáforo muda de vermelho para verde. Então o gráfico de sua posição, velocidade e aceleração seria parecido com o gráfico da figura abaixo:

Slope varies – declividade varia

Perceba que a(t) na figura c é constante, o que faz com que a curva v(t) na figura b apresente uma declividade constante. Depois, quando você freia o carro até parar, a aceleração (ou a desaceleração) também pode ser aproximadamente constante.

Casos semelhantes são tão comuns de acontecer que um conjunto de equações especiais foram deduzidas a fim de lidarem com essas situações. Lembre-se que:

Essas equações são válidas somente quando a aceleração é constante (ou situações nas quais a aceleração pode ser considerada constante).

Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais e podemos escrever a equação abaixo:

Aqui, v₀ é a velocidade no tempo t = 0 e v é a velocidade para qualquer tempo posterior t. Podemos re – escrever esta equação como:

v = v₀ + at. (2-11)

Note que a equação acima reduz-se a v = v₀ para t = 0, como deveria ser; além do mais, ao derivarmos a referida equação em relação ao tempo t, teremos dv/dt = a, que é a definição de a A figura abaixo mostra um gráfico da equação acima. A função v(t) é linear, sendo o seu gráfico uma reta.

Velocity = velocidade

Slope = declividade

Da mesma forma, podemos reescrever a equação (com algumas mudanças na notação)

como:

e então como:

x = x₀ + v_med t      (2-12)

Na qual x₀ é a posição da partícula quando t = 0 e v_med é a velocidade média entre t = 0 e um tempo posterior t.

Na função linear da equação x = x₀ + v_med t, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo (digamos de t = 0 até um tempo t) é a média das velocidades no início do intervalo (= v₀) e a velocidade no final do intervalo (= v). Para o intervalo de t = 0 até o tempo t, a velocidade média será:

  (2-13)

Substituindo o lado direito da equação (2-11) por v e rearranjando, teremos:

   (2-14)

Finalmente, substituindo a Eq. 2-14 na Eq. 2-12, teremos:

    (2-15)

Só para conferir, note que fazendo t = 0, teremos x = x₀, como deveria ser. Além do mais, derivando a Eq. 2-15 em relação ao tempo t, obteremos a Eq. 2-11, como deveria ser.

A figura abaixo mostra um gráfico da Eq 2-15. A função é quadrática e assim o gráfico é uma curva.

 Position - posição


O