Uma forma compacta de se descrever a posição de um objeto é através de um gráfico que ilustre a posição x em função do tempo t. Ou seja, um gráfico x(t). A notação x(t) representa uma função x em função de t e não o produto x . t. Vejamos um exemplo simples: A figura abaixo mostra a função posição x(t) para um tatu em repouso (que trataremos como uma partícula); após um intervalo de tempo igual a 7 segundos, a posição do animal permanece em x = - 2 m.
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| Gráfico x(t) de um tatu que está parado em x = - 2 m. O valor de x é sempre - 2 m para qualquer valor de tempo t. |
A figura seguinte é mais interessante, porque ela envolve movimento. O tatu é primeiramente avistado em t = 0 s, quando ele se encontra na posição x = - 5 m. Então ele se move para x = 0 e passa por aquele ponto quando t = 3 s, movendo-se para valores positivos de x maiores. O desenho abaixo do gráfico mostra o movimento em linha reta do tatu, que é mais ou menos o que você veria. O gráfico é mais abstrato e muito diferente da imagem do tatu correndo em linha reta; porém é muito mais rico em informações, além de mostrar quão rápido o tatu está se movendo.
Na verdade, várias quantidades são associadas à frase “quão rápido”. Uma delas é a velocidade média, vmed, que é a razão entre o deslocamento Δx que ocorre durante um determinado intervalo de tempo Δt e este mesmo intervalo.
Na verdade, várias quantidades são associadas à frase “quão rápido”. Uma delas é a velocidade média, vmed, que é a razão entre o deslocamento Δx que ocorre durante um determinado intervalo de tempo Δt e este mesmo intervalo.
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| Gráfico de x(t) para um tatu em movimento. Abaixo do Gráfico temos a trajetória associada ao gráfico. A escala abaixo do eixo x mostra o tempo no qual o tatu atinge as várias posições. |
Onde x1 é a posição inicial no tempo inicial t1 e x2 é a posição final no tempo final t2. A unidade comum para vmed é o metro por segundo (m/s). Você poderá encontrar outras unidades, mas elas sempre estarão na forma comprimento/tempo.
Em um gráfico x versus t, vmed é a declividade da linha reta que conecta dois pontos específicos da curva x(t): um deles é o ponto que corresponde a x2 (posição final) e t2 tempo final; o outro ponto corresponde a x1 (posição inicial) e t1 (tempo inicial). Assim como o deslocamento, a vmed possui magnitude e sentido (pois também é uma quantidade vetorial). Sua magnitude tem o mesmo valor da declividade da linha.reta. Uma vmed positiva (e também declividade) diz-nos que a linha se inclina para cima e para direita; uma vmed (e também declividade) informa-nos que a linha reta se inclina para baixo e para direita. A velocidade média vmed tem sempre o mesmo sinal que o deslocamento Δx porque Δt é sempre positivo.
Se a posição final do corpo for à direita da posição inicial, o deslocamento x2 - x1 será positivo, se a posiçaõ final for à esquerda da posição inicial, então o deslocamento será negativo. O tempo decorrido t2 - t1 será sempre positivo. Portanto, o sinal algébrico do vetor velocidade média indicará um deslocamento para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).
A figura abaixo mostra como determinar a vmed parao intervalo de tempo entre t = 1 s e t = 4 s.Primeiramente, desenhamos uma linha que conecte os pontos no início e no final do intervalo de tempo. em seguido encontramos a declividade Δx⁄Δt da linha reta. Para o intervalo de tempo fornecido, a vmed é:
Vejamos mais um exemplo para a definição de velocidade média:
A figura abaixo ilustra graficamente a velocidade média, ou seja, uma linha reta conectando os pontos P
1 Δx/Δt é a declividade da linha, que nos dá a interpretação geométrica da velocidade média.A velocidade média é a declividade da linha reta que está conectando os pontos (t1, x1) e (t2, x2). Na figura acima temos o gráfico de x versus t, para uma partícula que se move em uma dimensão. Cada ponta da curva indica a localização x para um tempo em particular t. Foi traçada uma linha reta entre as posições P1 e P2. O deslocamento Δx = x2 - x1 e o intervalo de tempo Δt = t2 - t1 entre estes pontos estão indicados. A linha reta entre P1 e P2 é a hipotenusa do triângulo que tem os lados Δx e Δt e a razão Δx / Δt é a sua declividade. Em termos geométricos, a declividade é a medida da inclinação da reta. Geralmente, a velocidade média depende do intervalo de tempo no qual é medida. Na ilustração acima, por exemplo, o intervalo de tempo menor indicado por t'2 e P'2 fornece uma velocidade maior que é comprovada pela maior inclinação da linha que conecta os pontos P1 e P'2.
Velocidade Média Escalar
A velocidade média escalar vmed é uma forma diferente de indicar "quão rápida" uma partícula se move. Uma vez que a velocidade média envolve o deslocamento da partícula Δx, a velocidade média escalar por sua vez, envolve a distância (comprimento) total percorrida, por exemplo, o número de metros percorridos, independente do sentido do movimento; isto é:
onde d é a distância total percorrida.
Uma vez que a velocidade escalar média não inclui o sentido, ela não pssui sinal algébrico. Às vezes, vmed tem o mesmo valor que vmed. Porém, como veremos no exemplo abaixo, as duas são bem diferentes.
Exemplo 1
Você está dirigindo uma Hi Lux em uma estrada reta a 70 km/h. Ao serem percorridos 8,4 km a gasolina acaba e o carro pára. Durante os próximos 30 minutos, você caminha mais 2 km na estrada até encontrar um posto de gasolina.
(a) determine o seu deslocamento total desde o início de sua viagem até o posto de gasolina.
Solução: Considere que você dirige na direção positiva do eixo x, de uma posição inicial x1 = 0 para uma segunda posição x2 no posto de gasolina. Esta segunda posição é x2 = 8,4 km + 2,0 km = 10,4 km. Logo seu deslocamento Δx ao longo do eixo x é a segunda posição menos a primeira posição, ou a posição final (x2) menos a posição inicial (x1).
Cálculos: Δx = x2 - x1 = 10,4 km - 0 = 10,4 km (resposta)
Assim, seu deslocamento total é 10,4 km, na direção positiva do eixo x.
(b) Determine o intervalo de tempo Δt desde o início da viagem até a chegada ao posto de gasolina.
Solução: já sabemos o tempo gasto na caminhada até o posto: 30 minutos ou 0,5 h, porém não sabemos quanto tempo levou até o carro ficar sem gasolina, no entanto sabemos que o carro percorreu 8,4 km a uma velocidade de 70 km/h. Entâo:
Δx = 8,4 km (deslocamento efetuado pelo veículo até ficar sem gasolina).
vmed = 70,0 km/h (velocidade média da Hi Lux nesse deslocamento).
Utilizamos a expressão:
Cálculos:
logo, 0,12 h é o tempo do início da viagem até o instante em que o veículo ficou sem gasolina. Note que devemos somá-lo com o tempo de caminhada até o posto de gasolina (30 minutos ou 0,5 h). Assim o intervalo de tempo total será:
Δt = 0,12 h + 0,5 h = 0,62 h ou 1h e 12 min. (resposta)
(c) Calcule a vmed desde o início da viagem até a chegada no posto de gasolina. Determine também a vmed graficamente.
Solução: Já descobrimos que o deslocamento total é de 10,4 km e que o tempo gasto para percorrer todo o percurso é de 0,62 h. Então, aplicando novamente a equação
Cálculos:
assim, a vmed durante toda a viagem foi de, aproximadamente, 17,0 km/h.. (resposta)
Para determinar a vmed graficamente, primeiramente desenhamos a função x(t), conforme a figura abaixo, onde os pontos inicial e final estão representados como origem e posto, respectivamente. Sua velocidade é a declividade da linha reta que une estes pontos, isto é, a razão entre a subida (Δx = 10,4 km) e a horizontal (Δt = 0,62 h), que nos fornece uma vmed = 16,8 km/h.
(d) Suponha que ao retornar com a gasolina, você gastou mais 45 minutos para retornar a pick up. Calcule a velocidade média escalar (vmed) desde o início da viagem até o retorno ao veículo.
Solução: Como iremos calcular a velocidade média escalar, aplicaremos a expressão vmed = d / Δt. Devemos calcular a distância percorrida d e dividí-la pelo tempo total Δt.
Cálculos: d = 8,4 km + 2,0 km + 2,0 km = 12,4 km
Lembrando que 45,0 min = 0,75 h, então: Δt = 0,12 h + 0,50 h + 0,75 h = 1,37 h
Logo: vmed = d / Δt = 12,4 km / 1,37 h = 9,1 km / h (resposta)
Velocidade Instantãnea e Velocidade Escalar Instantânea
Até agora vimos duas formas de descrever quão rápido um corpo se move: velocidade média e velocidade escalar média, ambas são medidas através de um intervalo de tempo Δt. No entanto, a expressão "quão rápido" geralmente está se referindo a quão rápido uma partícula está se movendo em um dado instante específico, ou seja, a sua velocidade instantânea v.
A velocidade instantãnea em qualquer instante de tempo é obtida através da equação da velocidade média diminuindo-se cada vez mais o intervalo de tempo Δt, aproximando-o cada vez mais de zero mas sem torná-lo nulo. Nesse processo, a velocidade média aproxima-se de um valor limite, que é a velocidade instantânea dada por:
Note que v é a derivada de x em relação a t. Além do mais, v em qualquer instante de tempo é a declividade da curva posição x tempo no ponto que representa aquele instante de tempo. A velocidade instantânea também é uma grandeza vetorial sendo portanto associada a um sentido.
A velocidade instantãnea escalar é a magnitude da velocidade instantãnea, isto é, é a velocidade instantãnea sem se levar em consideração o sentido da mesma, isto é, sem os sinais algébricos + ou - (velocidade escalar instantânea e velocidade média escalar podem ser muito diferentes). Uma velocidade instantãnea de + 10 m/s ou de -10 m/s têm a mesma velocidade instantânea escalar de 10 m/s.O velocímetro de um carro mede a velocidade escalar instantânea e não a velocidade instantânea (o velocímetro não pode indicar o sentido em que o carro está indo).
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| Um velocímetro indica a velocidade escalar instantânea. |
A primeira vista, a definição da velocidade de uma partícula em um único instante parece impossível, senão vejamos: Em um dado instante, uma partícula só pode estar em um único ponto, então como pode ela estar em movimento? E se ela não está se movendo, como pode ter uma velocidade? Esta paradoxo milenar é resolvido quando percebemos que a a observação e a definição do movimento requer que olhemos a posição de um objeto em vários instantes de tempo. Considere a figura abaixo na qual são considerados sucessivos intervalos de tempos cada vez mais curtos começando em t1. A velocidade média para o intervalo aproxima-se da declividade da tangente t1.
A figura acima mostra o gráfico x versus t. Repare que a sequência de sucessivos intervalos de tempo cada vez menores Δt1, Δt2 , Δt3. A velocidade média de cada intervalo é a declividade da linha reta para aquele intervalo. Quando o intervalo de tempo fica menor, estas declividades se aproximam da declividade da tangente à curva no ponto t1. A declividade desta linha é definida como a velocidade instantânea no tempo t1.
Definimos a declividade dessa tangente como a velocidade instantânea em t1. Esta tangente é o limite da razão Δx/Δt quando Δt e por conseguinte Δx se aproximam de zero.
Então podemos dizer:
A velocidade instantânea é o limite da razão Δx/Δt quando Δt se aproxima de zero:
Este limite é conhecido como a derivada de x em relaçãom a t. Em notação do cálculo diferencial, a derivada dx/dt é escrita como:
A declividade da linha pode ser positiva, negativa ou zero, consequentemente, a velocidade instantânea (no movimento em uma direção) pode ser positiva (x aumentando), negativa (x decrescendo) ou zero (nenhum movimento). A magnitude da velocidade instantânea é a velocidade escalar instantânea, pois a velocidade instantânea é uma grandeza vetorial.
A
Ponto de Aprendizagem
As seguintes equações fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro situações (em cada equação x está em metros, t em segundos e t > 0); (1) x = 3t - 2; (2) x = -4t² - 2; (3) x = 2 / t² e (4) x = - 2. (a) em qual situação a velocidade v da partícula é constante? (b) Em qual situação v tem o sentido negativo?
Solução
A fim de obter v, é necessário calcular a derivada primeira de cada equação.
(1) d(3t -3) / dt = 3; (2) d(-4t² - 2)/dt = -8t; (3) d(2 / t²)/dt = -4 / t ² (4) d(- 2)/dt = 0
Na situação (1), v = 3 m/s no sentido positivo do eixo x sendo portanto constante.
Nas situações (2) e (3), v tem sentido negativo em qualquer instante.
(a) v é constante na situação (1) (resposta)
(b) v tem sentido negativo nas situações (2) e (3) (resposta)
Exemplo 2
A figura (2-6a) abaixo ilustra um gráfico da função x(t) que representa o movimento retilíneo de um elevador que se move para cima (considere o sentido positivo do eixo x) e que inicialmente se encontra em repouso e depois pára de se movimentar. Desenhe o gráfico v(t).
Solução
Podemos determinar a velocidade instantânea v em qualquer instante de tempo através do cálculo da declividade da curva x(t) para o instante de tempo mencionado.
A declividade de x(t) e portanto da velocidade instantânea é zero entre os intervalos de tempo de 0 a 1s e a partir de 9s (elevador em repouso). Durante o intervalo bc, a declividade é constante e diferente de zero, logo o elevador está se deslocando com velocidade constante. Determinamos a declividade:
O sinal "mais" indica que o elevador está se movendo na direção positiva do eixo x. Os intervalos (onde v = 0 e v = 4 m/s) estão desenhados no gráfico inferior. além disso, quando o elevador começa a se mover e depois vai diminuindo sua velocidade até parar, v varia conforme indicado nos intervalos de 1 a 3s e de 8 a 9s. Assim, a figura (2-6b) é o gráfico pedido. A figura 2-6c será considerada mais tarde.
Dado um gráfico v(t) tal como o da fig. 2-6b, podemos fazer o caminho inverso para obter o gráfico correspondente x(t) (Fig. 2-6a). No entanto, não saberíamos os valores de x para os instantes correspondentes, porque o gráfico v(t) indica somente as variações de x. Para determinar as variações de x em durante qualquer intervalo, devemos determinar a área sob a curva no gráfico v(t) para aquele intervalo. Por exemplo, durante o intervalo de 3 a 8 segundos, no qual o elevador tem a velocidade de 4,0 m/s o deslocamento x é:
Δx = (4,0 m/s)(8,0s - 3,0s)= + 20 m.
Esta área é positiva porque a curva v(t) está acima do eixo t. A Fig. 2-6a mostra que na verdade, x aumenta 20 m naquela intervalo. Contudo a figura 2-6b não nos informa os valores de x no início e no fim do intervalo. Para isso, precisamos de uma informação adicional, tal como o valor de x em algum instante de tempo.
Exemplo 3
A posição de uma partícula movendo-se no eixo x é dado porx = 7,8 + 9,2 t - 2,1 t 3
com x em metros e t em segundos. Qual é a velocidade instantânea da partícula quando t = 3,5 s? A velocidade é constante ou está mudando continuamente?
Solução
A velocidade instantânea é a derivda primeira da função posição x(t).
Por simplicidade, as unidades foram omitidas da equação acima. Escrevendo a derivada primeira da equação dada, temos: 
que se torna: v = 0 + 9,2 – 3(2,1)t² = 9,2 – 6,3t²
Para t = 3,5 s
v = 9,2 - (6,3)(3,5)² = - 6,8 m/s (resposta)
Em t = 3,5 s, a partícula está se movendo na direção negativa de x (sinal -) com uma velocidade de 68 m/s. Uma vez que a quantidade t aparece na equação derivada, a velocidade v depende de t, logo ela muda continuamente.
